1/P + 1/Q = 1/F

Quindi se conosciamo il fuoco della lente e misuriamo la distanza P dell'immagine, possiamo risalire alla distanza Q della lampada. Abbiamo costruito uno strumento per misurare le distanze! Non molto preciso ma ottimo per dare un'idea della distanza tra lampada e lente.
Se la distanza della lampada è molto grande (come quando abbiamo utilizzato il sole), il termine 1/Q diventa molto piccolo e quindi la relazione diventa 1/P = 1/F ovvero P = F come avevamo osservato nel nostro esperimento.
Facciaomo un nuovo esperimento, prendiamo lenti di dimensioni diverse o, meglio, con lunghezze focali diverse. Se vogliamo di nuovo formare l'immagine della finestra sulla parete dobbiamo porre le lenti a distanze diverse rispetto a questa dato che le lenti obbediscono alla legge dei punti coniugati e tenendo fissa Q deve cambiare P al variare di F.
Vediamo il tutto con un esempio, prendiamo due lenti, che chiamiamo 1 e 2, con F1 = 10 cm ed F2 = 20 cm e poniamo che la distanza della finestra sia 10 m.
Per la lente 1 ho:

1/P1 + 1/1000 = 1/10 ovvero P1 = 10.10

Per la lente 2 ho:

1/P2 + 1/1000 = 1/20 ovvero P2 = 20.41

I più svegli avranno notato una approssimazione, in entrambi i casi ho messo la distanza della finestra a 10 m, in realtà avrei dovuto mettere 10 m per la lente 1 e solo 9.9 per la lente 2 dato che è più vicina alla finestra di 10 cm circa. Se metto questi valori il risultato non cambia apprezzabilmente per cui posso lasciare 10 m per entrambe le lenti.
Notiamo anche che le due distanze P sono solo diverse per pochi mm da F, sono quindi nel caso in cui posso considerare la finestra come una sorgente molto lontana giustificando nuovamente la scelta di lasciare la distanza a 10 m in entrambi i calcoli.
Osserviamo adesso le due immagini della finestra. Le due immagini hanno dimensioni diverse.
Quella della lente di focale maggiore è più grande rispetto a quella di focale minore, anzi, possiamo vedere che una è circa il doppio dell'altra!
Quindi le dimensioni dell'immagine dipendono dalla lunghezza focale della lente. Come abbiamo fatto in precedenza, vediamo di scoprire quale legge descrive l'effetto appena osservato.

La costruzione geometrica dell'immagine

Si può costruire la dimensione di una immagine utilizzando un metodo geometrico abbastanza semplice. Per far ciò è necessario fare alcune osservazioni su come si propagano i raggi di luce attraversio la lente facendo riferimento alla figura, trascurando ancora il motivo per il quale i raggi sono deviati:

• l'asse ottico è la linea perpendicolare alla lente che passa per il suo centro (linea tratteggiata)
• raggi paralleli all'asse ottico, quando attraversano la lente sono deviati e passano dal fuoco
• i raggi che attraversano il centro della lente, non sono deviati

Per costruire l'immagine disegno il sistema come nella figura accanto e traccio le tre linee rosse come in figura, queste mi ricostruiscono l'immagine e le dimensioni di questa rispetto a quelle dell'oggetto. Acesso è chiaro anche il motivo per il quale l'immagine risulta capovolta.
Il metodo grafico è utilizzabile fintanto che le distanze P, Q ed F siano paragonabili, nel caso visto in precedenza è abbastanza difficoltoso utilizzare il metodo grafico mettendo la finestra a 10 m e l'immagine a 10 cm.
Da considerazioni geometriche possiamo definire l'ingrandimento M come:

M = - P/Q

Nel caso della lente 1 dell'esempio precedente abbiamo F = 10 cm, P = 10.10 cm per cui l'ingrandimento è -0.01 l'immagine è 100 volte più piccola dell'oggetto reale, l'immagine della finestra infatti era circa 1 cm di larghezza e 1.5 cm di altezza pari a 1 m per 1.5 m.
Fino ad ora abbiamo usato un sistema con una sola lente, qualcosa di simile ai primi rudimentali strumenti ottici come il gia citato microscopio semplice.
Abbiamo però trascurato un particolare importante, anche nel nostro occhio è presente una lente: il cristallino.
Per tale motivo l'immagine che si forma grazie alla lente si può vedere se proiettata sullo schermo ma non si vede se mettiamo il nostro occhio al posto dello schermo. Per vedere qualcosa dobbiamo allontanare parecchio la lente dall'occhio: perché?

La lente e l'occhio umano

L'occhio funziona esattamente come la lente appena vista, la retina fa le funzioni dello schermo e il cristallino quello della lente, con una differenza, i muscoli ciliari modificano la curvatura del cristallino in modo da formare l'immagine sulla retina senza dover avvicinare ed allontanare il cristallino.
Dove noi modificavamo P per formare l'immagine, l'occhio modifica F.
Essendo in genere molto grandi le distanze Q degli oggetti rispetto alla distanza P della retina, si possono considerare i raggi che entrano nell'occhio come quasi paralleli, come abbiamo fatto nell'esperimento con le lenti 1 e 2.
Per vedere l'immagine è necessario rendere nuovamente paralleli i raggi convergenti in uscita dalla lente. Come possiamo fare?

I gruppi di lenti

La risposta alla domanda è semplice: usiamo un'altra lente.
Riferendosi alla figura, se sistemo le due lenti in modo che le distanze P dove si formavano le due immagini coincidano nel punto F, i raggi entreranno paralleli ed usciranno paralleli, mettendo l'occhio dietro la lente 1 si può vedere l'immagine della finestra capovolta come quando era proiettata sulla parete.
In questo caso cosa succede all'ingrandimento? Facendo il disegno con Q, P ed F paragonabili per le due lenti, si vede che l'ingrandimento totale diventa semplicemente il prodotto dei due ingrandimenti.

M1 = P1 / Q1 = - 0.01
M2 = P2 / Q2 = - 0.02
Mtot = M1 * M2 = 0.0002

Possibile? No naturalmente, abbiamo fatto un errore, la lente 1 infatti non si trova adesso nelle stesse condizioni di quando abbiamo misurato l'ingrandimento dell'immagine della finestra, esso infatti lo abbiamo calcolato come M1 = 10/1000 dove Q = 1000 cm e P = 10 cm (circa). Adesso però Q e P si sono invertiti quindi l'ingrandimento della lente 1 è M1 = 10/1000 = 100, il calcolo corretto è:

M1 = P1 / Q1 = - 100
M2 = P2 / Q2 = - 0.02
Mtot = M1 * M2 = 2

L'immagine è circa il doppio rispetto alle dimensioni della finestra. Naturalmente posso variare a piacere l'ingrandimento variando la posizione della lente 1 e dello schermo.
Se considero Q molto grandi e P ~ Q, l'ingrandimento M tende a divergere, si usa una relazione che lega le distanze focali delle due lenti ed è quella che si usa anche per i telescopi:

M1 = F2 / F1

Dove 2 è la lente dalla parte della finestra, che chiameremo obbiettivo, e 1 quella dalla parte dello schermo, che chiameremo oculare.
Se calcoliamo l'ingrandimento del sistema appena visto utilizzando questa nuova relazione otteniamo M = 20 / 10 = 2.
Abbiamo appena parlato di telescopi ed in effetti il sistema ottico appena visto è una versione molto semplice di cannocchiale, simile a quello utilizzato nel '600 da Galileo Galilei per l'osservazione del cielo notturno.
Possiamo modificare il nostro cannocchiale aumentando o diminuendo gli ingrandimenti, basta utilizzare due lenti di lunghezza focale F molto diversa, per esempio una lente da F = 1000 mm come obbiettivo ed una da 20 mm per oculare, sono sufficienti per vedere i crateri della Luna.
Tuttavia se guardiamo attraverso questo rudimentale sistema vedremo le immagini deformate, dai bordi sfuocati e colorati come se vi fosse un piccolo arcobaleno Intorno agli oggetti.
Per capire il motivo di ciò, dobbiamo capire come le lenti riescono a deviare i raggi di luce.

Rifrazione e aberrazioni

Tutti abbiamo notato che se infiliamo l'estremità di un bastone nell'acqua, questo apparirà come piegato verso l'alto.
Consideriamo un raggio luminoso che viaggia attraverso un mezzo trasparente, ad esempio l'aria. Se sul suo cammino incontra un nuovo mezzo trasparente, ad esempio acqua o vetro, nel passaggio dall'uno all'altro mezzo il raggio subisce una deviazione. Si dice in tal caso che il raggio viene rifratto.
Si può descrivere questo fenomeno semplicemente misurando sperimentalmente una quantità chiamata indice di rifrazione ed indicata con la lettera n.
Riferendosi alla figura i due angoli, di incidenza e di rifrazione, sono legati tra loro dalla legge di Snell:

Sin &theta 1 / Sin &theta 2 = n12

che lega i seni degli angoli ad una costante. La costante prende il nome di indice di rifrazione assoluto se &theta 1 si riferisce al vuoto.

mezzo	indice (riferito al vuoto)
aria	1,000294
acqua	1,33
Vetro Flint	1,579
Vetro Crown	1,516
quarzo	1,544

Nella tabella sono indicati gli indici di rifrazione di alcuni mezzi. È chiaro che per la maggior parte dei conti che faremo possiamo approssimare l'indice di rifrazione dell'aria ad 1.
Torniamo adeso alla nostra lente, i raggi che attraversano la lente perpendicolarmete alla sua superficie non vengono rifratti, nei nostri esempi c'è un unico raggio che soddisfa questa condizione: l'asse ottico. Gli altri raggi formano un angolo dato che la superficie della lente è curva. inoltre la lente è curva in modo diverso sulle due superfici quindi il raggio riceve due deviazioni con il risultato che esso converge verso l'asse ottico. Se la lente è lavorata correttamente tutti i raggi paralleli convergono nel punto che abbiamo chiamato fuoco.
Questo sarebbe vero se la legge applicata fosse indipendente dalla lunghezza d'onda della luce. L'esperienza ci insegna che ciò non è vero, basti pensare al prisma di Newton o all'arcobaleno. La formazione di immagini da parte delle lenti non sarà perfetta perché oltre alla questa esistono altre distorsioni, più propriamente dette aberrazioni ottiche. Particolari soluzioni progettuali e l'uso di materiali speciali consentono di minimizzare questi effetti negativi.
Le aberrazioni si dividono in:

• Aberrazione cromatica (appena vista)
• Aberrazione sferica
• Coma
• Astigmatismo dei fasci obliqui
• Curvatura di campo
• Diffrazione
• Vignettatura